题目描述

原题来自：HDU 3507

给出 $N$ 个单词，每个单词有个非负权值 $C_i$，现要将它们分成连续的若干段，每段的代价为此段单词的权值和的平方，还要加一个常数 $M$，即 $(\sum C_i)^2+M$。现在想求出一种最优方案，使得总费用之和最小。

输入格式

包含多组测试数据，对于每组测试数据： 第一行包含两个整数 $N$ 和 $M$。 第二行为 $N$ 个整数。

输出格式

输出仅一个整数，表示最小的价值。

5 5
5 9 5 7 5

230

数据范围与提示

对于全部数据，$0\le N\le 5\times 10^5,\ 0\le M\le 1000$。

$$dp_i=min(dp_i,dp_j+(s[i]-s[j])^2+m)$$

对于 $j<k<i$，如果 $k$ 比 $j$ 要优，则满足 ：

$$dp[k]+s[i]^2-2s[i]s[k]+s[k]^2+m ≤ dp[j]+s[i]^2-2s[i]s[j]+s[j]^2+m $$

消去一样的可得

$$dp[k]-2s[i]s[k]+s[k]^2 ≤ dp[j]-2s[i]s[j]+s[j]^2$$

移项可得

$$dp[k]+s[k]^2-dp[j]-s[j]^2 ≤ 2s[i](s[k]-s[j])$$

所以可知当 $j<k<i,dp[k]+s[k]^2-dp[j]-s[j]^2 ≤ 2s[i](s[k]-s[j])$ 时 $k$ 比 $j$ 优。

设 $\text{Slope}(j,k)$ 表示 $\text{Slope}(j,k)=\cfrac{(dp[k]+s[k]^2)-(dp[j]+s[j]^2)}{2s[i](s[k]-s[j])}$

当$\text{Slope}(j,k)\ge \text{Slope}(k,i)$，$k$ 就没用了